Medidas de tendencia central
La media aritmética es el promedio o medición de tendencia central de uso más común. Se calcula sumando todas las observaciones de una serie de datos y luego dividiendo el total entre el número de elementos involucrados.
media aritmética de la muestra
= sumatoria de todos los valores de Xi
Ejemplo 1
Calcular la media de los siguientes datos: 11, 6, 7, 7, 4.
Ejemplo 2
Las edades de 8 niños que van a una fiesta son: 2, 2, 3, 5, 7, 7, 9, 10. Hallar la edad media:
La mediana
La mediana es el valor medio de una secuencia ordenada de datos. Si no hay empates, la mitad de las observaciones serán menores y la otra mitad serán mayores. La mediana no se ve afectada por ninguna observación extrema de una serie de datos. Por tanto, siempre que esté presente una observación extrema es apropiado usar la mediana en vez de la media para describir una serie de datos.
Para calcular la mediana de una serie de datos recolectados en su forma sin procesar, primero debemos poner los datos en una clasificación ordenada. Después usamos la fórmula de punto de posicionamiento:
Para encontrar el lugar de la clasificación ordenada que corresponde al valor de la mediana, se sigue una de las dos reglas:
- Si el tamaño de la muestra es un número impar, la mediana se representa mediante el valor numérico correspondiente al punto de posicionamiento, la observación ordenada es (n+1)/2.
- Si el tamaño de la muestra es un número par entonces el punto de posicionamiento cae entre las dos observaciones medias de la clasificación ordenada. La mediana es el promedio de los valores numéricos correspondientes a estas dos observaciones medias.
Ejemplo 1
Calcular la mediana de los siguientes datos: 11, 6, 7, 7, 4.
Solución:
Ordenamos los datos de menor a mayor: 4, 6, 7, 7, 11.
Ahora tomamos el dato que se encuentra al centro: 4, 6, 7, 7, 11.
El valor de la mediana es: Me = 7.
¿Y si la cantidad de datos es un número par?
En ese caso, la mediana es la media entre los dos valores centrales.
Ejemplo 2
Calcular la mediana de los siguientes datos: 3, 6, 7, 9, 4, 4.
Solución:
Primero ordenamos los datos de menor a mayor: 3, 4, 4, 6, 7, 9.
La cantidad de datos es 6, es decir, un número par, así que vamos a ubicar los 2 valores centrales: 3, 4, 4, 6, 7, 9.
Entonces, la moda sería la media entre 4 y 6:
La moda
La moda o modo es el valor de una serie de datos que aparece con más frecuencia. Se obtiene fácilmente de una clasificación ordenada. A diferencia de la media aritmética, la moda no se ve afectada por la ocurrencia de los valores extremos.
Ejemplo: Los valores siguientes son las calificaciones de un alumno durante todo el año
7; 8; 9; 7; 9; 8; 8; 8; 7; 8
Podemos afirmar entonces que el modo es igual a 8, dado que es el valor que aparece con más frecuencia.
Ejemplo 1
Calcular la moda de los siguientes datos: 11, 6, 7, 7, 4.
Podemos ver que el valor que más se repite es el 7, ya que tiene una frecuencia absoluta de 2, por lo tanto, Mo = 7.
Ejemplo 2
En un examen calificado del 0 al 10, 3 personas obtuvieron 5 de nota, 5 personas obtuvieron 4 de nota, y 2 personas obtuvieron 3 de nota. Calcular la moda.
Solución:
Los datos son los siguientes: 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3.
El valor que más se repite es el 4, que aparece 5 veces, por lo tanto, Mo = 4.
¿Y si hay varias modas?
Si en un grupo de datos, dos o más valores tienen la misma frecuencia, y es la frecuencia máxima, entonces la distribución tiene dos o más modas y decimos que es bimodal (2 modas), o multimodal (varias modas).
La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor estadístico y técnico. Se representa por fila. Se suele representar con números.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa es igual al número de veces que se repite un evento o sea la frecuencia multiplicado por el 100% y dividida entre el total de los datos
Ejemplo:
Frecuencia* % = % Total de frecuencia 15* 100% = 1,500 = 90%
Frecuencia acumulada
La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.
La frecuencia acumulada es la frecuencia estadística F(XXr) con que el valor de una variable aleatoria (X) es menor que o igual a un valor de referencia (Xr).
Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos.
| Intervalo | xi | ni | Ni | fi | Fi |
|---|---|---|---|---|---|
| [0, 5) | 2.5 | 1 | 1 | 0.025 | 0.025 |
| [5, 10) | 7.5 | 1 | 2 | 0.025 | 0.050 |
| [10, 15) | 12.5 | 3 | 5 | 0.075 | 0.125 |
| [15, 20) | 17.5 | 3 | 8 | 0.075 | 0.200 |
| [20, 25) | 22.5 | 3 | 11 | 0.075 | 0.275 |
| [25, 30) | 27.5 | 6 | 17 | 0.150 | 0.425 |
| [30, 35) | 32.5 | 7 | 24 | 0.175 | 0.600 |
| [35, 40) | 37.5 | 10 | 34 | 0.250 | 0.850 |
| [40, 45) | 42.5 | 4 | 38 | 0.100 | 0.950 |
| [45, 50) | 47.5 | 2 | 40 | 0.050 | 1 |
| Total: | 40 | 1 |
xi = corresponde al punto medio del intervalo. Se calcula valor menor mas valor mayor y lo dividimos entre dos.
tomamos el primer intervalo 0 - 5
0 +5 = 5 /2 = 2.5
Tomamos el segundo intervalo 5 - 10
5 + 10 = 15 / 2 = 7.5 y así sucesivamente.
ni: corresponden a la cantidad de elementos que pertenecen al intervalo
en 0-5 ..hay un solo(1) elemento.
en 25-30 hay 6 elementos.
Ni: corresponde a los valores acumulados en cada intervalo
tomamos el primer intervalo 0 - 5
existe un elemento; entonces Ni = 1.
Tomamos el segundo intervalo 5 - 10
existe un elemento; entonces Ni = Ni + 1; Ni = 2
Tomamos el tercer intervalo 10 - 15
hay tres (3) elementos; entonces Ni = Ni +3; 2 + 3 ; Ni =5
y así sucesivamente.
fi: corresponde a la frecuencia relativa
fi = cantidad de elementos en el intervalo entre el total de elementos de la muestra.
en el intervalo 0-5 hay un elemento
el total de elementos es 40.
fi = 1 / 40 = 0,025
en el intervalo 20-25 hay tres (3) elementos
fi = 1 / 40 = 0,075
La suma total de todos los fi debe ser igual a 1.
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